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Fanden Sie's heraus? Lösung unseres Rätsels aus der e-news-Ausgabe Nr. 5, September 2015

Hat Frau Müller einen Sohn und eine Tochter?

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Hat Frau Müller einen Sohn und eine Tochter?

Frau Müller hat gut erhaltene Mädchenkleidung, die ihrer Tochter nicht mehr passt. In der Nachbarschaft wohnt Frau Schmidt, die zwei kleine Kinder hat. Ihr würde Frau Müller gerne die Mädchenkleider schenken, wenn sie dafür Verwendung hätte. Daher erkundigt sich Frau Müller, ob Frau Schmidt eine Tochter hat und bekommt die Information, dass dies der Fall ist. Als die Freundinnen von Frau Müller davon erfahren, stellen sie ebenfalls nicht mehr benötigte Kinderkleidung zur Verfügung. Dabei handelt es sich sowohl um Mädchenkleidung als auch um Jungenkleidung. Frau Müller kommt daraufhin ins Grübeln und fragt sich, ob Frau Schmidt wohl zwei Töchter hat oder ob sie eher einen Sohn und eine Tochter hat?

Was meinen Sie? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Müller einen Sohn und eine Tochter hat?


Lösung

Zur Veranschaulichung der Lösung wählen wir ein Urnen-Modell. Betrachtet wird die Menge aller Familien, allerdings interessieren wir uns nur für solche mit zwei Kindern. In der Urne befinden sich daher nur Familien mit zwei Kindern. Diese können in folgenden Reihenfolgen zur Welt gebracht worden sein:

  • Mädchen, Mädchen (MM)
  • Mädchen, Junge (MJ)
  • Junge, Junge (JJ)
  • Junge, Mädchen (JM)

Da bei jeder Geburt die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen oder ein Junge zu bekommen gleich groß ist, gibt es von jeder dieser vier Familiensorten gleich viele in der Urne. Angenommen 

  • 10.000 Familien mit zwei Töchtern,
  • 10.000 Familien, die erste eine Tochter und dann einen Sohn bekamen,
  • 10.000 Familien mit zwei Jungen und
  • 10.000 Familien, die erst einen Jungen und dann eine Tochter bekamen.

Wie wir bereits wissen, hat Frau Schmidt eine Tochter. Daher nehmen wir alle Familien mit zwei Jungen aus der Urne raus. In dieser verbleiben also nur noch Familien der Sorten MM, JM und MJ und davon jeweils gleich viele. In unserem Beispiel also 10.000 Familien mit zwei Mädchen und in Summe 20.000 Familien, die jeweils einen Sohn und eine Tochter haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Müller also zwei Töchter hat, beträgt demnach ein Drittel.

Im Umkehrschluss hat Frau Müller mit einer zwei Drittel Wahrscheinlichkeit einen Sohn und eine Tochter.