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Fanden Sie's heraus? Lösung unseres Rätsels aus der e-news-Ausgabe Nr. 6, November 2014

Überrundet

Wie lange brauchen die Jogger für eine Runde?
Wie lange brauchen die Jogger für eine Runde?

Die beiden Hobbyjogger Tom und Mike drehen im Stadion ihre Runden. Tom startet 30 Sekunden vor Mike, welcher der bessere der beiden Läufer ist. Nach genau 10 Minuten Laufzeit von Tom wird dieser von Mike zum ersten Mal überrundet.

Wie viele Sekunden brauchen beide Läufer jeweils für 1 Runde im Stadion, wenn Mike jede Runde genau 8 Sekunden schneller läuft als sein Freund Tom?


Lösung

In 10 Minuten (= 600 Sekunden) ist Tom 600/x Runden gelaufen und benötigt dabei x Sekunden für 1 Runde. Sollte er beispielsweise für 1 Runde genau 50 Sekunden brauchen, so hätte er in 10 Minuten 600/50 = 12 Runden geschafft. Mike braucht 8 Sekunden weniger für 1 Runde und somit (t - 8) Sekunden. Bis zum Zeitpunkt der Überrundung ist Mike 30 Sekunden weniger, also 570 Sekunden, unterwegs und hat er außerdem 1 Runde mehr hinter sich gebracht als der langsamere Tom.

x = Anzahl gelaufener Runden
t = Zeit für eine gelaufene Runde von Tom

1. Schritt: Gleichung für Tom

x * t = 10 Minuten (600 Sekunden)
x = 600 Sekunden/ t

2. Schritt: Gleichung für Mike

(x + 1) * (t – 8 Sekunden) = 10 Minuten – 30 Sekunden = 570 Sekunden

3. Schritt: 1. Gleichung in 2. Gleichung einsetzen

(600 /t +1) * (t – 8) = 570
(600 * t – 4800)/ t + t – 8 = 570
600 – 4800/ t +t = 578
22t – 4800 + t2 = 0
t2 + 22t – 4800 = 0

4. Step: Erhalten Sie die Lösung mithilfe der p,q-Formel

x1 = - 22/2 +  √(484/4 + 4800) = 59.15
x2 = - 22/2 - √(484/4 + 4800) = - 81.15

X2 ist unbrauchbar, weil Sekunden nur positiv sein können. Tom benötigt folglich 59,15 Sekunden pro Runde, während Mike mit 51,15 Sekunden hierfür 8 Sekunden weniger Zeit braucht. Bis zum Zeitpunkt der Überrundung ist Mike (570/51,15) 11,1 Runden und Tom (600/59,15) 10,1 Runden gelaufen.